[백준 11404 🥇] 플로이드

문제

n(2 ≤ n ≤ 100)개의 도시가 있다. 그리고 한 도시에서 출발하여 다른 도시에 도착하는 m(1 ≤ m ≤ 100,000)개의 버스가 있다. 각 버스는 한 번 사용할 때 필요한 비용이 있다.

모든 도시의 쌍 (A, B)에 대해서 도시 A에서 B로 가는데 필요한 비용의 최솟값을 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 도시의 개수 n이 주어지고 둘째 줄에는 버스의 개수 m이 주어진다. 그리고 셋째 줄부터 m+2줄까지 다음과 같은 버스의 정보가 주어진다. 먼저 처음에는 그 버스의 출발 도시의 번호가 주어진다. 버스의 정보는 버스의 시작 도시 a, 도착 도시 b, 한 번 타는데 필요한 비용 c로 이루어져 있다. 시작 도시와 도착 도시가 같은 경우는 없다. 비용은 100,000보다 작거나 같은 자연수이다.

시작 도시와 도착 도시를 연결하는 노선은 하나가 아닐 수 있다.

출력

n개의 줄을 출력해야 한다. i번째 줄에 출력하는 j번째 숫자는 도시 i에서 j로 가는데 필요한 최소 비용이다. 만약, i에서 j로 갈 수 없는 경우에는 그 자리에 0을 출력한다.

 

문제풀이

import sys

n=int(sys.stdin.readline())
m=int(sys.stdin.readline())

minimum=[[1e9]*(n+1) for _ in range(n+1)]

for _ in range(m):
    a,b,c=map(int, sys.stdin.readline().split(' '))
    # 이미 저장된 경로가 있는 경우, 더 작은 경로를 저장
    if minimum[a][b]!=1e9:
        minimum[a][b]=min(c, minimum[a][b])
    else:
        minimum[a][b]=c

for i in range(1,n+1):
    minimum[i][i]=0

# 1~n까지 경유점 설정해주면서 최소값 탐색
for k in range(1,n+1):
    for i in range(1,n+1):
        for j in range(1, n+1):
            minimum[i][j]=min(minimum[i][j], minimum[i][k]+minimum[k][j])


for i in range(1,n+1):
    for j in range(1, n+1):
        # 도달할 수 있는 경로가 없는 경우
        if minimum[i][j]==1e9:
            print(0, end=' ')
        else:
            print(minimum[i][j], end=' ')
    print('')

모든 노드간의 최단 경로를 구하는 데에 쓰이는 플로이드 워셜(Floyd-Warshall) 알고리즘을 사용해야 하는 문제이다. 

 

처음에 최단경로를 저장하는 2차원 배열 minimum을 INF 값으로 초기화하고, 간선의 개수 M만큼 출발지(a), 도착지(b), 소요시간(c)를 입력받아서 minumum[a][b]=c 형식으로 간선 정보를 저장한다. 이때, 동일한 경로에 대해서 여러 개의 노선이 존재할 수 있고, 우리는 최단 경로를 구해야 하기 때문에 이미 다른 노선이 존재하는 경우 더 작은 값을 저장한다. 

 

그리고 출발지와 도착지가 같은 minimum[i][i]는 0으로 초기화해준다. 

for k in range(1,n+1):
    for i in range(1,n+1):
        for j in range(1, n+1):
            minimum[i][j]=min(minimum[i][j], minimum[i][k]+minimum[k][j])

1번부터 n번까지 모두 한 번씩 중간 노드 즉, 경유지로 선택하면서 기존의 경로보다 해당 경유지를 들렸다 가는 것이 더 짧은 경우 경로를 갱신해준다. 

 

이렇게 하면 minimum[i][j]에 i에서 j로 가는 최단 경로가 저장된다!

출력하는 과정에서 minimum[i][j]가 1e9인 경우엔 해당 경로가 없다는 뜻이므로 0을 출력해준다.

 

단, 시간복잡도 O(n^3)이므로, 해당 시간복잡도를 만족할 수 있는 경우에만 사용할 수 있다.